Отношения и пропорции. Тесты "отношение и пропорции" П 3 отношение и пропорция тесто

В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.

Таким образом, сам смысл термина «отношение » был несколько иной, чем термина «деление »: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число. В современной математике понятия «деление » и «отношение » по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т.п. При этом многие отношения величин однородных принято выражать в процентах .

ПРИМЕР

В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?

400 – общее число товара

Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.

200: 400 = 0,5 или 50%

В математике делимым принято называть предыдущий член отношения , а делителем – последующий член отношения . В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.

Два равных отношения образуют пропорцию

В современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения . К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:

1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

200: 400 = 0,5 или 50%

2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

300: 600 = 0,5 или 50%

В данном случае имеется пропорция , которую можно записать следующим образом:

Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести относится к четыремстам так же, как триста относится к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции , а четыреста и триста – средними членами пропорции .

Произведение средних членов пропорции

Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:

Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;

200 × 600 = 120 000

Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.

300 × 400 = 120 000

Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.

Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции , то:

Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.

Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции при известных значениях трех членов остальных.

Тест 13-16 "Отношение и пропорции".

Предлагаемые тесты предназначены для проверки знаний и умений учащихся по разделу курса математики шестого класса «Отношение и пропорции» . Посредством представленных тестов проверяется усвоение учебного материала следующих тем: «Отношения», «Пропорции», «прямая и обратная пропорциональные зависимости», «Масштаб», «Длина окружности и площадь круга», «Шар» . Данная подборка тестов может быть использована в системе классно-урочного изучения обозначенного раздела или в домашних условиях - при самостоятельном или дистанционном обучении с целью проведения самоконтроля.

Прохождение теста ограничено по времени - десять минут. По окончании данного временного промежутка тест заканчивает свою работу и предлагает перейти в окно результатов. Для удобства ориентации во времени, справа вверху есть таймер с обратным отсчетом времени. Данная тестовая программа предусматривает удобную навигацию между вопросами, а также возможно внесение изменений в ранее выбранный или записанный ответ. Тесты представлены в двух равноценных вариантах, каждый из которых содержит в себе семь вопросов, сформулированных в виде заданий разной уровни сложности. Первые четыре вопроса оцениваются в один балл и предусматривают выбор одного правильного ответа из четырех предложенных. Задачи под номерами пять и шесть относятся к среднему уровню сложности и оцениваются в два балла каждая. Последнее, седьмое, задание соответствует высокому уровню сложности и за правильное решение тестируемый получает три балла.

После окончания тестирования выводится окно результатов с набранными баллами. Предусмотрен также просмотр подробностей оценивания, а, при необходимости, можно вернуться к заданиям теста с последующим анализом правильных и выбранных (записанных) ответов.

Сделаем короткий анализ предлагаемых тестов.

Первый и второй тесты выполняют проверку знаний и умений по теме«Отношения» . Проходя задания первого теста, учащемуся необходимо уметь записывать отношение двух чисел, определять, какую часть одно число составляет относительно другого (во сколько раз одно число больше другого), находить, сколько процентов одно число составляет от другого, записывать по заданному отношению обратное отношение. Особый интерес представляет седьмое задание. Здесь в условии дано, чему равны заданное количество процентов от процентов числа и необходимо найти, чему равно это число.

Задания второго теста хоть и относятся к той же теме, что и задания первого теста, но в основе их уже лежит не проверка основных теоретических и практических знаний и умений по данной теме, а направлены на применение отношений для решения задач. Первый вопрос содержит графический рисунок, на котором изображены два отрезка. Учащемуся следует определить отношение длин данных отрезков. Во втором задании заданы две величины в разных единицах измерения и необходимо найти их отношение. Задание под номером три предлагает определить процентное отношение двух заданных чисел. А в четвертом по заданному отношению (записанному в виде смешанного числа) нужно найти обратное отношение. Пятый вопрос содержит задачу, в которой необходимо определить, какую долю в процентном отношении составляет одно число от другого. В задаче, которая находится в шестом задании, нужно найти, какую часть одно число составляет относительно другого. В седьмом вопросе условие задачи содержит отношение двух чисел и нужно найти отношение большего числа к сумме двух задействованных в отношении чисел.

Третий тест предназначен для проведения контроля по темам«Пропорции» и «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» . Для успешного прохождения теста учащемуся понадобятся знания членов пропорции (какие члены пропорции являются крайними, а какие - средними), по заданной записи пропорциональной зависимости находить неизвестный член пропорции, уметь составлять пропорциональные зависимости (и решать их) для решения задач.

В четвертом тесте задания проверяют знание и умение работать с пропорциями, а также по темам «Длина окружности и площадь круга» и«Масштаб» . В первых двух вопросах необходимо решить пропорцию. Далее предлагается найти длину окружности заданного радиуса. После чего по известному радиусу нужно вычислить площадь круга. Пятое и шестое задания по своей сути противоположны друг другу. В пятом по известному масштабу следует определить, какое будет расстояние на карте (на местности), если известно данное расстояние на местности (на карте). Шестое задание, наоборот, по известным соответствующим расстояниям на карте и местности предлагает найти масштаб карты. При ответе на седьмой вопрос понадобятся логическое мышление и внимание. Нужно определить, сколько четных (кратных 5) двузначных чисел можно составить из четырех заданных цифр.

Харцызская общеобразовательная школа № 25 «Интеллект» с углубленным изучением отдельных предметов

Наконечная Лариса Петровна

учитель математики

Тестовая проверочная работа

Математика, 6 класс

Тема. Отношения и пропорции

Учебник: Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.И. Решетников, А.В. Шевкин. -М.: Просвещение, 2016.

В соответствии с Базисным учебным планом на 2017 - 2018 учебный год на изучение математики в 6 - м классе отводится 4 часа в неделю. На изучение темы «Отношения и пропорции» предусмотрено 12 часов.

Планируемые результаты изучения данной темы:

Обучающиеся научатся использовать понятия отношение, масштаб, пропорция при решении задач. Приводить примеры использования этих понятий на практике. Решать задачи на пропорциональное деление (в том числе задачи из реальной практики).

Использовать знания о зависимостях (прямой и обратной пропорциональностях), между величинами (скорость, время, расстояние; работа, производительность, время и т.д.), при решении текстовых задач: осмысливать текст задачи, извлекать необходимую информацию, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, выполнять несложные практические расчёты.

Результаты освоения содержания темы:

Личностные

Формирование коммуникативной компетентности в образовании и сотрудничестве со сверстниками;

Умение точно и грамотно излагать свои мысли при решении задач, понимание смысла поставленной задачи, умение выстраивать аргументацию;

Креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении арифметических задач;

Формирование способности к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

Метапредметные

Способность самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

Развитие способности видеть математическую задачу в других дисциплинах, в окружающей жизни;

Понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Предметные

Владение базовым понятийным аппаратом: иметь представление об отношениях, пропорции, прямой и обратной пропорциональности, масштабе, формирование представлений о закономерностях в реальном мире;

Умение применять изученные понятия для решения задач на прямую и обратную пропорциональность, деление числа в заданном отношении.

Предлагаемая проверочная работа охватывает материал всей изученной темы «Отношения и пропорции» и состоит из 12 заданий отличающихся уровнем сложности и формой представления, содержание которых соответствует действующей программе по математике для 6 класса общеобразовательных организаций.

Цель работы проверить уровень усвоения шестиклассниками учебного материала по данной теме с последующей коррекцией знаний и умений.

Первые 9 заданий - это задания на выбор одного правильного ответа. К каждому заданию приведено четыре возможных варианта ответов, из которых только один является правильным. Задание считается выполненным правильно, если в таблице ответа обучающийся укажет только одну букву, которой обозначен правильный ответ. При этом не надо приводить никаких объяснений. За каждый верный ответ ученик получает 1 балл. Максимальное количество баллов - 9

Следующие 3 задания (10 - 12) предусматривают установление соответствия между заданиями (1 - 4) и их ответами (А - Д). К каждому из четырех рядков, обозначенных цифрами, необходимо подобрать один ответ, обозначенный буквой. За каждый правильный ответ обучающийся получает по 1 баллу. Максимальное количество набранных баллов за 10 - 12 задания - 12. Всего 21 балл

Таблица перевода баллов в отметку

На выполнение работы предусмотрено 45 минут

Тестовая контрольная работа

1. Отношение 23 и 70 равно:

А) Б) В) 47; Г) 93.

2. Какие из предложенных отношений равны?

А) 4:7 и 8:28; Б) 30:5 и 65:13; В) 2:1 и 6:3; Г) 3:9 и 13:39.

3. Какие из данных равенств являются пропорцией?

А) 40: 8 = 4: 2; Б) 6: 13 = 7: 12; В) 7: 2 = 21: 4; Г) 36: 9 = 16: 4;

4. Найдите отношение 40 минут к 2 часам

А) 1: 3; Б) 20: 1; В) 1: 20; Г) 3: 1.

5.Какие из величин являются прямо пропорциональными?

А) Площадь квадрата и его сторона;

Б) Количество рабочих и время, за которое они выполнят работу;

В) Путь пройденный пешеходом, и время, которое он находился в пути;

Г) Количество труб наполняющих бассейн и время заполнения бассейна.

6. В какой из русских пословиц речь идет об обратно пропорциональных величинах?

Б) Мал золотник, да дорог;

В) Чем выше пень, тем выше тень;

Г) Каков привет, таков ответ.

7. Какие выражения подходят для вычисления неизвестного члена пропорции у : 24 = 3: 7

А) .

8. Дана пропорция 13: х = 17: у . Какое из следующих равенств пропорцией не является?

А) х: у = 13:17; Б) х: 13 = у: 17; В) у: х = 17: 13; Г) х: у = 17: 13.

9. Чему равно отношение ?

А) 8; Б) ; В) ; Г) .

10. Установите соответствие между отношениями (1 - 4) и величинами (А - Г), которыми эти отношения являются.

1. ; А) число;

2. ; Б) цена;

3. ; В) концентрация;

4. ; Г) скорость;

11. Установите соответствие между заданными уравнениями (1 - 4) и корнями каждого из них (А - Д)

1. 7: 8 = х : 96; А) 2 ;

2. ; Б) 6

3. т В) 1 ;

4. к : Г) 50;

Д) 84.

12. Установите соответствие между задачами (1 - 4) и числами (А - Д), которые являются ответами этих задач.

ОТВЕТЫ к заданиям 1 - 9.

ОТВЕТЫ к заданиям 10 - 12

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Для коррекции знаний можно использовать следующую таблицу в которой указан характер возможных ошибок

Список использованной литературы

1. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.И. Решетников, А.В. Шевкин. -М.: Просвещение, 2016.

2. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.И. Решетников, А.В. Шевкин

3.Математика. 6 класс: Сборник задач и заданий для тематического оценивания/ А.Г.Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С.Якир. - Харьков «Гимназия», 2008

4.Дидактические материалы по математике для 5 класса: самостоятельные и контрольные работы /А.С.Чесноков, К.И.Нешков. -М.: Просвещение, 1981.

5. Математика 6 класс: самостоятельные и контрольные работы / А.П.Ершова, В.В.Голобородько. . - Харьков «Гимназия», 2007

Цель урока: Совершенствование навыков решения текстовых задач с помощью пропорции, закрепление основного свойства пропорции на примерах решения уравнений, имеющих вид пропорции, развитие познавательного интереса, воспитание здорового образа жизни.

Оборудование: Индивидуальные задания, компьютерные тесты.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Индивидуальная работа с отдельными учащимися.

4. Физиологическая пауза.

5. Решение задач.

6. Компьютерное тестирование.

7. Подведение итогов урока.

I Организационный момент

Актуализация знаний учащихся.

• Что называется пропорцией?
• Как называются a и d, b и c в пропорции a: b = c: d?
• Назовите основное свойство пропорции.

Прочитайте пропорции и назовите их крайние и средние члены:

3,5: 0,2 = 4: 17,5;

Решите уравнение.

Соедините стрелками прямоугольники, в которых записаны равные отношения.

В пустой прямоугольник впишите отношение, равное тому, которое не соединено стрелкой.

В верных пропорциях замените звёздочки (*) числами.

16: * = 3,2: 0,4;

* : 3 = 2,5: 0,5.

Проверка выполнения индивидуальных заданий.

Физиологическая пауза (гимнастика для глаз).

II. Основная часть

Ребята, сегодня мы с вами будем решать задачи с помощью пропорции.

Задание № 1. По схеме составить задачу и решить её.

а)

б)

Задание № 2. Решите задачи с помощью пропорции (работа в парах).

Задача № 1. При засолке на 10 кг рыбы кладут 3,5 кг соли. Сколько потребуется соли для засолки 2 ц рыбы?

Задача № 2. Человек может произнести членораздельно около 300 слов в минуту. Сколько слов произнесут 2 болтушки-пятиклассницы за первые 5 минут урока?

Задача № 3. Ученик в процессе игры в футбол получает синяк на ноге. Сколько болевых точек ноют у него одновременно, если на 1 см 2 находится 250 болевых точек, а площадь синяка 16 см 2 ?

Задача № 4 . В России ежегодно умирают 500 000 мужчин в среднем возрасте. 42 % из них умирают из-за болезней, связанных с курением. Сколько человек могли бы продолжать жить, если бросили курить?

Задача № 5. Мама заплатила 10 руб. за 2 кг сахара, а бабушка 15 руб. за 3 кг сахара. Выясните, по одинаковой ли цене был куплен сахар.

Задача № 6. Из 1 кг крупы получается 2,1 кг рассыпчатой гречневой каши. Мы хотим получить 1600 г каши. Сколько нужно взять крупы?

Задача № 7. Некоторое расстояние ласточка пролетела за 0,5 часа со скоростью 50 км/ч. За сколько минут пролетит то же расстояние стриж, если его скорость 100 км/ч?

Взаимопроверка решённых задач.

Задание № 3. Выполнение теста на компьютере по теме “Отношения и пропорции”.

Домашнее задание: п. 21 (повторить правило); № 762; № 747.

Подведение итога урока.

Отношения в математике От куска материи длиной 5 м отрезали 2 м. Какую часть куска материи отрезали? 5 м 2 м Решение =0,4=40 0 / 0 Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Что показывает отношение? Ответ можно также записать в виде десятичной дроби или в процентах. 2:5=

Что показывает отношение? Отношение показывает во сколько раз первое число больше второго 16 кг 8 кг 16: 8 = 2(р.) или какую часть первое число составляет от второго. 4 м 20 м 4: 20 = 0,2(части) Если две величины измерены одной и той же единицей измерения, то отношение их значений называют отношением этих величин. Отношение масс Отношение длин К тесту

П Р О П О Р Ц И Я «Пропорция-соразмерность. 1) Определённое соотношение частей между собой. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета. 2) В математике: равенство двух отношений.» Ожегов С. И.

П р о п о р ц и я Отношения 3,6:1,2 и 6,3:2,1 равны. Поэтому можно записать равенство 3,6:1,2=6,3:2,1 или a: b = c:d Средние члены пропорции Крайние члены пропорции В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. a * d = b * c Как проверить, верно ли составлена пропорция? К вопросу

П р о п о р ц и я Основное свойство пропорции: Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна. Проверьте, верна ли пропорция? 20:16=5:

У п р а ж н е н и я Составьте, если можно, пропорции из следующих отношений: а) 20:4 и 60: Составьте, если можно, пропорции из четырёх данных чисел: а)100; 80; 4; Проверьте двумя способами, верно ли равенство: а) 49:14=14: Из следующих равенств составьте пропорцию: а) 40*30=20* Найдите неизвестный член пропорции: а) х:30=54:40

Тест 1.Отношения. 1. Какое из данных отношений равно? а)7:2; б) 4:14; в) 7:17,5; г)12:17;7:24:147:17,512:17 2. Найдите отношение 1,2 м к 10 см. а) 12; б) 12 м; в)0,12; г) другой ответ.1212 м 0,12 другой ответ 3. Как относится одна третья часть часа к восемнадцати минутам? а)1:54; б)10:8; в)1:6; г) другой ответ.1:5410:81:6 другой ответ. 4. Отношение а: в равно 5:3. Найдите отношение 3 а:10 в. а) 1:2; б)2; в) 9:30; г) другой ответ.1:229:30 другой ответ.

Тест 2. Пропорции. 1. Найдите произведение средних членов пропорции: а)9,8; б)0,98; в)80; г) другой ответ.9,80,9880 другой ответ. 2. Найдите неизвестный член пропорции: а)0,05; б)20; в)0,5; г) другой ответ 0,05200,5 другой ответ. 3. Из данных пропорций выберите верную: а)82:72=64:78; б)15:8=13:6;82:72=64:7815:8=13:6 в)17:2=34:4; г)22:23=81:82.17:2=34:422:23=81:82

Задача 4 Расстояние на карте от Земли до Луны 38,4 см. Найти расстояние между ними, если масштаб карты 1: